Pengertian Relasi, Fungsi, Sifat Dan Jenis Fungsi

Setelah mengikuti pembelajaran Bab ini mahaiswa diharapkan dapat menjelaskan pengertian relasi, fungsi, sifat, dan jenis fungsi dengan benar. Galileo Galilei (1564-1642) merupakan salah satu astronom terkenal dari Italia  yang dikenal luas dengan penemuannya tentang hubungan yang sangat teratur antara  tinggi suatu benda yang dijatuhkan dengan waktu tempuhnya menuju tanah. Sebagaimana ditunjukkan dengan tabel berikut:

Tabel di atas menunjukkan bahwa jarak yang ditempuh d (dalam

kaki/feet)  merupakan fungsi dari waktu (dalam menit) dengan

rumus d = (4t)2. Dengan rumus fungsi itu, nilai dari suatu peubah

akan dapat ditentukan jika nilai dari peubah yang  satunya

diketahui.

Konsep “fungsi” terdapat hampir dalam setiap cabang

matematika,  sehingga merupakan suatu yang sangat penting

artinya dan  banyak sekali kegunaannya. Akan tetapi pengertian

dalam matematika agak berbeda dengan pengertian dalam kehidupan sehari-hari.

                        

Gb. 2.1

Dalam pengertian sehari-hari, “fungsi” adalah guna atau manfaat. Kata fungsi dalam matematika sebagaimana diperkenalkan oleh Leibniz (1646-1716) yang gambarnya terlihat di atas (Gb. 2.1) digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas antara dua himpunan.

Mengingat konsep fungsi menyangkut hubungan atau kaitan  dari dua himpunan, maka disini kita awali dulu pembicaraan kita mengenai fungsi dengan hubungan atau relasi antara dua himpunan.

A.Pengertian Relasi

Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B.

Contoh:

A = {2,3,4,5,6}

B = {1,2,3,4,5,6}

Relasi : “adalah faktor dari “

Dapat disajikan dalam dua macam cara.

a.  Dengan diagram panah

b. Dengan diagram pasangan berurutan.

R = {(2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6)}

Dengan menggunakan penyajian relasi di atas, maka relasi R dari himpunan A ke

himpunan B dapat kita definisikan sebagai himpunan pasangan (a,b) pada A × B, di

mana a ∈ A dan -  b ∈ B salah satu dari kalimat berikut:

Relasi atau hubungan itu dapat terjadi di berbagai bidang misalnya ekonomi,IPA,

keteknikan  dan lain sebagainya, seperti hubungan antara jumlah suatu barang  dengan

harganya, dalam  hubungan antara harga dengan permintaan atau penawaran,  dalam

hubungan antara kekuatan suatu zat radioaktif dengan waktu.

B. Pengertian Fungsi

Perhatikan diagram dibawah ini:

Relasi fungsional atau sering disingkat fungsi

sering juga disebut dengan istilah pemetaan

(mapping) didefinisikan sebagai berikut :

Definisi:  Suatu fungsi f dari himpunan A ke

himpunan B adalah suatu relasi yang

memasangkan setiap elemen dari A secara

tunggal,  dengan elemen pada B.

Ditulis f : A → B dibaca “fungsi f pemetaan A ke dalam / into B”

Apabila f memetakan suatu elemen x ∈A ke suatu y ∈ B dikatakan bahwa y adalah peta
dari x oleh f dan peta ini dinyatakan dengan notasi f(x), dan biasa ditulis dengan f:x →

f(x), sedangkan x biasa disebut prapeta dari f(x).

Himpunan A dinamakan daerah asal (domain) dari fungsi f , sedangkan himpunan B

disebut daerah kawan (kodomain) sedangkan himpunan dari semua peta di B dinamakan

daerah hasil (range) dari fungsi f tersebut.

Contoh 1:

Diagram sebagaimana pada G.b. 2.4 di atas adalah fungsi karena pertama, terdapat relasi

(yang melibatkan dua himpunan yakni A dan B) dan kedua, pemasangan setiap elemen A

adalah secara tunggal.

Contoh 2

   

Diagram di samping bukan merupakan fungsi

karena ada elemen A yang dipasangkan tidak

secara tunggal dengan elemen pada B.

Contoh 3 :

Diketahui A = {x | -3 ≤ x < 3, x ∈ R} dan suatu fungsi f: A → R

Ditentukan oleh rumus f(x) = x2 + 1

a. Carilah f(-1), f(0) dan prapeta dari 5

b. Dengan melukis grafik, tentukan daerah hasil dari fungsi f.

c. Jelaskan bahwa f adalah suatu fungsi.

Jawab:

Dibuat grafik y= x2 + 1

f(-3) = (-3)2 + 1 =10

f(3) = (3)2 + 1 = 10

titik balik (0,1)

Jadi daerah hasil dari fungsi f adalah: R = { y | 1 < y < 10, y ∈ R }, karena nilai f(x) = y

terletak pada interval tersebut sebagaimana terlihat pada sumbu y.

c. Karena f suatu relasi dimana setiap elemen pada domain A (sumbu x) dipasangkan

secara tunggal maka f merupakan fungsi.

C.Sifat Fungsi

Dengan memperhatikan bagaimana elemen-elemen pada masing-masing

himpunan A dan B yang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal tiga sifat

fungsi yakni sebagai berikut:  

1. Injektif (Satu-satu)

Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu

(injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen

yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah

fungsi injektif apabila a ≠  a’ berakibat f(a) ≠  f(a’) atau ekuivalen, jika f(a) = f(a’)

maka akibatnya a = a’.

Contoh:

1. Fungsi f pada R yang didefinisikan dengan f(x) = x2 bukan suatu fungsi satu-satu sebab 

f(-2) = f(2).

2.

Adapun fungsi pada A = {bilangan asli}  yang

didefinisikan dengan f(x) = 2x  adalah fungsi

satu-satu, sebab kelipatan  dua dari setiap dua

bilangan yang berlainan adalah berlainan pula.

 2. Surjektif (Onto)

Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil  f(A)

dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B, atau f(A) c B. Apabila f(A) = B, yang

berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di

A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau “f memetakan A Onto B”

Contoh:

1. Fungsi f: R→R yang didefinisikan dengan rumus f(x) = x2    bukan fungsi yang  onto

karena himpunan bilangan negatif tidak dimuat oleh hasil fungsi tersebut

2. Gb. 2.11

Misal A = {a, b, c, d} dan B = {x, y, z} dan fungsi f: A

→ B yang didefinisikan dengan diagram panah adalah

suatu fungsi yang surjektif karena daerah hasil f adalah

sama dengan kodomain dari f (himpunan B).

  

3.Bijektif (Korespondensi Satu-satu)

Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi  yang

injektif dan  surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A

dan B berada dalam korespondensi satu-satu”.

Contoh:

 1)

  

Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke himpunan B =

{p,q, r} yang didefinisikan  sebagai diagram di

samping adalah suatu fungsi yang bijektif.

2) Fungsi f yang memasangkan setiap negara di dunia dengan ibu kota negaranegara di

dunia adalah fungsi korespondensi satu-satu (fungsi bijektif), karena  tidak ada satu

kotapun yang menjadi ibu kota dua negara yang berlainan.

D. Jenis – jenis Fungsi

Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama, misalnya D,

maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi tidak dinyatakan maka

yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan real (R). Untuk  fungsi-fungsi pada R

kita kenal beberapa fungsi antara lain sebagai berikut.

a.  Fungsi Konstan

b.  Fungsi Identitas

c.  Fungsi Linear

Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a

     

d.  Fungsi Kuadrat 

Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c ∈ R

dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat.

e.  Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah suatu fungsi terbentuk f(x) =Q(x)  P(x) dengan P(x) dan Q(x)

adalah suku banyak dalam x dan Q(x) ≠ 0.

Fungsi R→R yang didefinisikan sebagai: f : x→ x disebut fungsi identitas.

Latihan 1:

1. Diantara fungsi-fungsi berikut, manakah yang merupakan fungsi injektif, surjektif,        

serta bijektif? Berilah penjelasannya!

2. Diketahui himpunan D = {1,2,3,4,5}. Suatu relasi pada D ini, manakah yang berupa

     pemetaan dan berikan alasannya !

   a.R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)}

   b.R = {(1,2),(2,3),(2,4),(4,5),(5,1)}

   c.R = {(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2)}

3.Suatu fungsi f: R→R ditentukan oleh f(x) = x2 + 2

   a.Tentukan f(-1), f(a), dan f(1).

   b.Tentukan a jika f(a) = 27

   c.Anggota manakah dari daerah asal yang mempunyai peta 18 ?

4.Manakah yang merupakan fungsi injektif, surjektif, atau bijektif dari fungsi dengan

   domain {1, 2, 3, 4}, yang didefinisikan sebagai berikut?

   a. R = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7); jika kodomainnya {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

   b. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1); jika kodomainnya {1, 2, 3}

   c. R = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1); jika kodomainnya {1, 2, 3, 4}

  d. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 4); jika kodomainnya {1, 2, 3, 4, 5, 6}

5. Misalkan A = [–1, 1] = {x|–1≤ x ≤ 1, ∈ R}. Apakah fungsi di bawah ini surjektif?

   a. f: A → A ; didefinisikan f(x) = x c. f: A → A ; didefinisikan f(x) = x2

   b. f: A → A ; didefinisikan f(x) = 2x – 1 d. f: A → A ; didefinisikan f(x) = x3